Ejercicios de Geometría y Trigonometría

Determinación del Área Sombreada

Ejercicio No. 1

En la figura, las dos circunferencias tienen un radio de 20 cm. cada una y son tangentes entre sí, las rectas l1 y 12 son tangentes a las circunferencias como se observa en la figura. Determina el área sombreada.

SOLUCIÓN.-
1.- Primero se utiliza la fórmula   en base a los valores que se nos dan en el ejercicio:

A= 3.1416 (20cm)2

A=3.1416 (400cm2)

A=1,256.64

2.- Después, como ya sabemos, las rectas l1 y 12 son tangentes a las dos circunferencias, y que el límite de cada una es la mitad de las circunferencias, creando así un cuadrado en lo que es el centro de la figura.

3.- Se calcula el área de ese cuadrado que se formó, con la fórmula A=L*L 

Sustituyendo así los valores:

A= (40cm)(40cm) = 1,600cm2

4.- Ya para finalizar viendo bien la figura podemos deducir que se puede sacar el área de la parte sombreada sí a ese cuadrado se le restan las dos mitades de los círculos trazados, cosa que se puede tomar como un circulo completo.

ÁreaSombreada = ÁreadelCuadrado - ÁreadelCirculo

ÁreaSombreada = 1,600cm2 - 1,256.64cm2

ÁreaSombreada = 343.36cm2

Ejercicio No. 2

El área del cuadrado menor es 81in2. Determina el área del círculo y del cuadrado mayor.

SOLUCIÓN.-

1.-Apreciamos la imagen y para obtener otros valores tomamos en cuenta el valor del área del cuadrado menor que es 81in2, que sí le sacamos la raíz cuadrada podemos obtener el valor de cada uno de sus lados, Dando como resultado de cada lado del cuadrado menor 9in, despues de esto, con el teorema de pitágoras sacamos el valor de la diagonal del cuadrado, porque esa diagonal, es también el diámetro de la circunferencia marcada y de igual manera es el valor de los lados del cuadrado mayor.

C = √a2+b2

C = √(9in)2+(9in)2

C = √81in2+81in2

C = √162in2

C = 12.72in

Diámetro = 12.72                          Radio= 12.72/2 = 6.36

2.- Con ese valor procedemos a calcular ambas áreas, primero el del círculo con la fórmula 

Área del círculo:

 

A = 3.1416 (6.36in)2

A= 3.1416 (40.44in2)

A = 127.07in2

Área del cuadrado mayor:

A = L*L

A = 12.72in * 12.72in
A = 161.79in2

3.- Ya para finalizar para saber el área de la parte sombreada, tenemos que restarle al área de la circunferencia el área del cuadrado menor.

ÁreaSombreada = ÁreadelCírculo - ÁreadelCuadradoMenor

ÁreaSombreada = 127.07in2 - 81in2

ÁreaSombreada = 46.07in2

Ejercicio No. 3

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo e isósceles. Las tres semicircunferencias tienen como diámetro las dimensiones del lado AB y sus centros en los..

SOLUCIÓN.-

1.- Dentro de las circunferencias se forma un cuadrado al cual debemos calcularle su área con la fórmula A = L*L

A = 6in (6in)

A = 36in2

2.- Después con el teorema de pitágoras se saca el diámetro de los círculos.

C = √a2+b2

C = √(6in)2+(6in)2

C = √36in2+36in2

C = √72in2

C = 8.48in

Diámetro = 8.48in                        Radio= 8.48/2 = 4.24

3.- Después se calcula el área de los círculos, con la fórmula siguiente: 

A = 3.1416 (4.24in)2

A= 3.1416 (17.97in2)

A = 56.47in2

4.- A ésta área le haremos varias operaciones ya que se tienen tres medios círculos cruzando el triángulo y el cuadrado imaginario que sacamos,quienes generan el área sombreada.

• Primero al área del círculo se le resta el área del cuadrado:

56.47in2 - 36in2 = 20.47in2

• Lo que resultó se divide entre cuatro:

20.47in2 / 4 = 5.11in2

• Ése resultado será multiplicado por dos:

5.11in2 * 2 = 10.22in2

• En seguida lo dividimos entre cuatro:

10.22in2 / 4 = 2.55in2

• Para finalizar será multiplicado por tres:

2.55in * 3 = 7.66in2

5.- Y ese sería el valor del área sombreada.





Ejercicio No. 4
La figura adjunta es el plano de un área recreativa que se va a construir al oriente de la ciudad. Tiene la forma de un cuadrado de área igual a 7225 metros cuadrados. El semicírculo de la derecha está destinado a una alberca con área de regaderas y espacios con mesas y sillas para los visitantes, y un área verde. Los límites del área verde son: el espacio para la alberca, parte de una diagonal del cuadrado, y cuarto de círculo con centro en el vértice B. Determina la cantidad de pasto en rollo que se debe comprar para colocar en dicha área verde.

SOLUCIÓN.- 
1.- Primero como ya tenemos el dato del área total de todo el cuadrado grande, tenemos que sacarle raíz cuadrada para saber cuanto mide cada uno de sus lados.

L = √7225m2

L = 85m.

Diámetro = 85m.              Radio= 85/2 = 42.5m.

2.- Luego, para poder calcular el área sombreada, calculamos el área del semicírculo, con la formula del área de un círculo, tomando en cuenta que el radio mide la mitad del lado del cuadrado grande. 

A = 3.1416 (42.5m)2

A = 3.1416 (1,806.25m2)

A = 5,674.515m2

• Éste tendrá que ser dividido entre dos para que sea el área del semicírculo.

ÁreadelSemicírculo = 5,674.515m2 / 2 =  2,837.2575m2

3.- En seguida de eso volviendo a tomar en cuenta los lados del cuadrado grande, y con la ayuda del teorema de pitágoras vamos a sacar la medida de la diagonal que divide al cuadrado grande en dos triángulos.

C = √a2 + b2

C = √(85m)2 + (85m)2

C = √7,225m2 + 7,225m2

C = √14,450m2

C = 120.20m.

4.- Después creamos un cuadrado imaginario dejando la mitad dentro del semicírculo, ya que nos servirá de gran ayuda para poder calcular el área sombreada.Tomamos en cuenta solamente la mitad de la diagonal que mide 120.20m (calculada anteriormente) para así tener la medida del lado del cuadrado imaginario y poder calcular el área del mismo.

A = L * L

A = 60.1m * 60.1m

A = 3,612.01m2

5.- Luego si tenemos buena vista podemos ver que la curva que va de A a C es una cuarta parte de un círculo gigante, el cual tendría 85m. de radio, y tomamos eso en cuenta para calcular su área.

A = 3.1416 (85m)2

A = 3.1416 (7,225m2)

A = 22,698.06m2

• Éste valor será dividido entre ocho para así conocer cual es el área de la figura ABE escondida:

A ABE = 22,698.06m2 / 8  = 2,837.25m2

6.- Para finalizar, realizamos unas operaciones más.

• Al área del semicírculo le restamos la mitad del área del cuadrado imaginario.

= 2,837.2575m2 - (3,612.01m2 / 2)

= 2,837.2575m2 - (1,805.005m2)

= 1,031.2525m2

• Ése resultado será dividido entre dos, para después poderlo restar al área de la figura ABE.

1,031.2525m2 / 2 = 515.62625m2

ÁreaSombreada = 2,837.25m2 - 515.62625m2

ÁreaSombreada = 2,321.62375m2

FÓRMULAS Y ANGÚLOS

Tipos de Ángulos

TIPOS DE ÁNGULOS

Ángulos Agudos.- 

Los ángulos agudos son los que tienen menos de 90°

Ángulo Recto.-

Es todo ángulo que mida 90°

Ángulos Obtusos.-

Son los ángulos que miden más de 90° pero menos de 180°

Ángulo Llano.-

Es el ángulo que mide 180°

Teorema de Pitágoras.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Hace años, Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos. El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo")

Entonces, el cuadrado de “a” más el cuadrado de “b” es igual al cuadrado de “c”, como lo muestra la fórmula:

c2 = a2 + b2

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.

El teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su demostración, sobre todo, es esfuerzo de la mística escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación.

Áurea

ÁUREA EN EL ARTE.

La sección áurea es una división que se realiza de un segmento dado en dos proporciones que son brindadas por el número áureo. Como veremos a continuación esta sección es utilizada por el mundo del arte, la decoración, el diseño y en cuanto nos imaginemos. Inclusive se ha encontrado que la sección áurea se encuentra presente en la naturaleza.

La sección áurea aplicada al arte. Hoy queremos enseñarte a utilizar la sección áurea para que puedas aplicarla en el arte o la decoración. Para lograr la proporción áurea es necesario utilizar el denominado número áureo.

Este número es algebraico y fue descubierto en la antigüedad. Se lo conoce también como número de oro, dorado, divina proporción, razón áurea, razón dorada, media áurea, etc.

La sección áurea aplicada a la decoración y al arte infiere un valor estético que es muy apreciado hoy en día.

Todo comenzó con el manuscrito “De Divina Proportione” (la divina proporción) que publicó Fray Luca Paccioli en 1509. Leonardo da Vinci fue quien le ayudó a ilustrar su obra de las ciencias y las matemáticas. El descubrimiento de Paccioli definió la sección áurea como “la división de un segmento en dos partes de modo que el todo sea a la parte mayor como ésta es a la parte menor”. En términos numéricos la relación es de 3 a 5 o de 5 a 8.

El número áureo es designado con la letra griega φ (Fi) y es 1,61803...

  

ÁUREA EN LA ARQUITECTURA.

La proporción áurea o sección áurea es asociada con bastante frecuencia con la armonía estética en la arquitectura y el arte en general, el concepto data de mucho tiempo atrás, los griegos ya la conocían y utilizaban, matemáticamente se define como la proporción de a dividida por b donde ( a+b ) es para a lo que a es para b, haciendo los cálculos obtenemos que la proporción aurea es ( 1 + √ 5 ) / 2 o 1.618 aproximadamente, también se le conoce hoy en día como el número Phi.

La arquitectura contemporánea sigue utilizando la proporción aurea en diferentes estructuras, el concepto de sección áurea fue reivindicado durante el periodo de la arquitectura moderna por Le Corbusier quien en los años 40s desarrolló un sistema de proporciones llamado Modulor en el que la proporción de alturas estaba basada en la proporción aurea, pero no solo Le Corbusier utilizó ampliamente el concepto, de igual forma lo hizo Mies Van der Rohe, de esta forma la proporción aurea mantiene su vigencia hasta nuestros días.

En la arquitectura la sección aurea encuentra variadas e imaginativas aplicaciones, veamos el caso del círculo áureo, círculo dividido en dos secciones por dos radios, en el cual el cociente de la división del ángulo mayor entre el menor es igual al número de oro, Phi, la arquitectura aplica esto en la pendiente de lozas a dos aguas, en la angulación de muros y en juntas de elementos estructurales y también decorativos.

La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las fachadas para la asignación de tamaños proporcionales – sección del rectángulo áureo y gradación - en ventanas, puertas, columnas, lozas, arcos, trabes, elementos decorativos, de tal forma que se logre un conjunto visualmente atractivo y se mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total.